这道高考数学题 30万人仅3人做对 连出题人都做错了

1982年5月1日的美国高考数学卷有这样的一道题—— 



 

咱们先审题，这道题是说，小圆的半径只有大圆的三分之一；如果小圆绕着大圆滚回原位，那么它转了多少圈？

 

备选项有5个，这个不用翻译大家也能看懂。

 

先不说答案，你会选什么？

 

相信很多人会选 B，这道车祸现场题的出题人也是这么考虑的。

 

如果把大圆圆周拉直，那么它的长度应该是小圆圆周的3倍，所以小圆绕着它会滚3圈对吗？

 

并不。

 

不信的话，我们动手实操一下。

 

大家看，小圆绕了大圆四分之一的时候，已经转了一圈了——

 



 

绕大圆一整圈的话，实际上小圆转了4圈。所以正确答案是4，并不在任何一个选项里。

根据出卷方美国大学理事会（College Board）的事后声明，这场美国高考出卷方的答案是错的，而在当时参与这场考试的30万考生里，只有3个考生给出了正确答案。

 

最后，明明是美国大学理事会做错了，除了那三人，所有人的分数都被扣回去了。

 



纽约时报1982年5月25日对这次高考数学题出错事件的报道（白框）

 

30万人里只有3人做对，其实是因为这个现象太不可思议了，因此它在数学上也得到了赐名——硬币悖论（coin paradox）。

 

如果是用两个半径一模一样的圆来玩的话，我们发现，其中一个绕另一个公转了半圈的时候，实际上它已经自转了360度了。如果绕另一个圆公转一整周，那么它自转了720度，也就是2圈。



 

这种题有没有套路解法呢？其实是有的，答案就是：公转的圆的圆心画出的圆的半径和这个圆的半径之比。在下图里，就是绿色的这个圆的半径和小圆的半径之比。



 

以1982年那道高考题为例，公转的圆心的轨迹是个圆，而且它的半径是小圆的4倍，所以是转4周。

 

如果两个圆直径一样，公转的圆心绕过的圆形轨迹的半径是它的2倍，所以是转2圈。

所以硬币悖论到底是怎么产生的呢？

 

大家来画重点了，硬币悖论的本质，在于公转的圆的每一个点画出的路径并不是圆形，而是腰子的形状——肾形线。



肾形线（红色）

如果两个圆半径相等，那么轨迹就是另外的器官——心脏线。

 



心脏线（蓝色）

其实，解硬币悖论的思路也可以用来解答亚里士多德在公元前4世纪提出的另一个绊倒了许多人的悖论。

 

在《论力学》（Mechanica）这本书中，问题很多的亚里士多德给大家出了这样一个问题：

一个半径为 R 轮子在地上滚一周，在没有发生滑动摩擦的情况下，轮子上每一个点行走的距离都是 2πR 对吧？



 

这个轮子可以看作是很多小轮子一个一个套娃套出来的。小轮子相对大轮子也没有发生滑动摩擦，大轮子滚一周，小轮子也滚一周。可是，小轮子的半径 r 明明比大轮子小啊，为什么小轮子上任意一点的行走距离也是 2πR 呢？



 

这个悖论也被称为亚里士多德圆桶悖论（Aristotle's wheel paradox）。两千年来，这道题成了众多世界驰名理科生的送命题。

 

比如，伽利略的解法是，如果把圆形轮子看作是有很多个边的多边形构成的，那么小轮子在滚的时候，跳过了一些空隙...总之伽利略的意思是这样的——





多边形在滚动的时候，中间的小多边形上的任意一点是跳着前进的，并没有走完大多边形的全程。伽利略由此推论，圆形也是相同的情况。

这道题使他深信，如此一来，轮子就是用带有无穷多孔隙的材料制成的，因此物质必然是用很小的颗粒，也就是原子构成的。

等等教练，原子论还可以这样推？

但是利用做美国高考那道题的思路，我们就能越过伽利略的无穷脑“洞”，得到这个悖论的解法了。

 

实际上，和直觉不一样，大圆上的每一个点行走的路径长度并不是2πR，而是大于2πR，画出来是这样的线条，头秃吧。



 

这个线叫做摆线。



 

同理，小圆上的每一点画出来的轨迹也不是直线，也是摆线，只不过小圆的摆线长度比大圆的摆线要短，因为圆滚一周，摆线长度是半径的8倍。



亚里士多德的这个悖论还可以得出集合论中的一个推论：不管2段线段各自有多长，它们所拥有的点的数量都是一样的；任何一个线段上的任何一点，都可以在另一个线段上找到对应物。

这个推论放到整数里也是成立的：所有偶数的数量等于所有整数的数量。



话说回来，其实在生活中心脏线还挺常见的。

 

相信你见过圆形杯子里液面的这种柯基臀部形状的反射光斑吧——



圆锥形杯子里液面的心脏线

 

它就是心脏线的形状。这是因为，当入射光和圆锥斜边，也就是杯壁平行时，圆锥的回光线（一束光射到曲面上，反射回来的线条）就是屁股线。



在液面，入射光在锥形杯壁的反射光可被看作点光源，它会形成新心脏线形状的回光线。

心脏线还有和日常生活中一个大家熟悉，但始终不明白原理的现象有关。

 

歌手们飙高音的时候，为什么要把麦拿远呢？

 

其实，这是因为大多数的麦，也就是风靡了50年的SM58麦接收声音的范围是心脏线勾勒出的形状的——



大多数麦克风是心型指向的，也就是说只有在心形区域的声音，才能得到有效接收。

 

这种麦也叫心型指向的，它可以有效屏蔽麦克风后面的声音，比如观众声浪的声音。所以歌手们要让粉丝合唱的时候，就必须把麦对准观众。

心型指向的麦克风还有一个特点，那就是拿太近时会产生近接效应（proximity effect）——低音会放大。反之，拿远的时候，低音炮就被弱化了。所以在飙高音的时候，为了突出高音部分，KTV歌手们就会把麦拿远。

我们来看一下这个大哥的实地演示——

近接效应：心型指向的麦克风靠近声源时，低音部会被放大，反之减弱。

 

全向式麦克风，也就是可以接受以麦克风为中心的球内的声音的那种就没有这种现象。 阅读原文